Xavier Nayrac

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Simuler une honnête pièce de monnaie à partir d'une truquée

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Niveau : intermédiaire

Ce qui suit est une traduction assez libre de l’article original Simulating a Fair Coin with a Biased Coin, j’ai laissé le code python original et ajouté du code Ruby.

Problème : Simuler une honnête pièce de monnaie, alors qu’on a uniquement accès à une pièce truquée.

Solution :

En Python

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def fairCoin(biasedCoin):
   coin1, coin2 = 0,0
   while coin1 == coin2:
      coin1, coin2 = biasedCoin(), biasedCoin()
   return coin1

En Ruby

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def fair_coin
  coin1, coin2 = 0, 0
  coin1, coin2 = biased_coin, biased_coin while coin1 == coin2
  coin1
end

Discussion : C’est à l’origine une idée brillante de von Neumann. Si nous avons une pièce truquée (c’est à dire une pièce qui tombe sur face avec une probabilité différente de 1/2), on peut simuler une pièce non truquée en lançant deux pièces jusqu’à ce que les deux résultats (pile ou face) soient différents. Comme on a des résultats différents, la probabilité que la première pièce donne face et que la seconde donne pile est la même que la probabilité d’obtenir le résultat inverse (pièce 1 donnant pile et pièce 2 donnant face). Donc, si on retourne simplement le résultat de la première pièce, on aura pile ou face avec une probabilité de 1/2.

Notez que l’on a pas besoin de connaître ni d’assumer quoique ce soit de la fonction biasedCoin/biased_coin, mis à part qu’elle renvoit 1 ou 0 à chaque appel et que les résultats sont indépendant les uns des autres. En particulier, nous n’avons pas besoin de connaître la probabilité d’obtenir 1. De plus, nous n’utilisons pas le hasard directement (seulement à travers la fonction biasedCoin/biased_coin).

Voici une simulation simple :

En python

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from random import random
def biasedCoin():
   return int(random() < 0.2)

En Ruby

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def biased_coin
  rand < 0.2 ? 1 :  0
end

Cette fonction renvoie 1 avec une probabilité de 0.2. Si nous essayons maintenant:

En Python

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sum(biasedCoin() for i in range(10000))

En Ruby

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(1..10_000).reduce {|sum| sum + biased_coin }

Nous devrions obtenir un nombre proche de 2000. J’ai obtenu 2058.

D’un autre coté, si nous faisons:

En Python

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sum(fairCoin(biasedCoin) for i in range(10000))

En Ruby

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(1..10_000).reduce {|sum| sum + fair_coin }

Nous devrions obtenir approximativement 5000. Et quand j’ai essayé, j’ai obtenu 4982, ce qui est la preuve que fairCoin/fair_coin renvoie bien 1 avec une probabilité de 1/2 (même si j’ai déjà fourni cette preuve !).

Pour plus d’informations sur ce sujet, regardez ces notes par Michael Mitzenmacher de l’université de Harvard.

À demain.

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