Les maths derrière V=RI
\(V = RI\), la formule est simple. V pour le voltage (en Volts), R pour la résistance (en Ohms) et I pour l’intensité (en Ampères). Grâce à elle nous pouvons calculer l’ampérage si nous connaissons le voltage et la résistance:
\[\begin{align} I= \frac{V}{R} \end{align}\]Et nous pouvons aussi calculer la résistance si nous connaissons le voltage et l’intensité:
\[\begin{align} R= \frac{V}{I} \end{align}\]Pas besoin d’être fort en math pour pouvoir appliquer ces 3 formules. On a juste à faire une multiplication, ou bien une division. Mais si on veut comprendre pourquoi les deux dernières formules découlent de la première, il faut un minimum de bagage en math.
Cet article est pour celles et ceux qui ont séchés les cours de math au collège et qui voudraient maintenant comprendre pourquoi \(V = RI\) implique nécessairement \(I = V / R\). Je vais tâcher de tirer et d’expliquer tous les fils qui nous amène à déduire la seconde formule à partir de la première.
Le symbole de la multiplication
Le plus simple d’abord, \(RI\) est la multiplication de R par I. Donc \(RI\) est la même chose que \(R \times I\). Pour simplifier les choses (ironie…) on peut aussi écrire le signe le la multiplication avec un point. Les 3 lignes suivantes sont donc équivalentes:
\[\begin{align} RI \\ R \times I \\ R \cdot I \end{align}\]L’égalité
Parlons maintenant du signe =. Il signifie qu’on a une égalité entre ce qui
se trouve à sa gauche et ce qui se trouve à sa droite. En d’autres termes, ce
qui est à gauche du signe = à la même valeur que ce qui est à sa droite.
Donc si V vaut 12 (c’est un exemple), alors R × I vaut
aussi exactement 12. Si je remplace V par 12 dans la formule, on voit bien que
RI vaut 12:
Ça ne nous dit pas combien vaut exactement R ni combien vaut exactement I mais on sait que la multiplication de ces deux là vaut 12. On a peut-être R = 1 et I = 12, ou encore R = 3 et I = 4. Tout est possible du moment que \(R \times I = 12\).
Cette dernière égalité ( \(R \times I = 12\) ) m’amène à préciser ceci: \(V = RI\) est la même chose que \(RI = V\). Si vous avez du mal à penser avec des lettres, n’hésitez pas à les remplacer régulièrement par des nombres pour voir de quoi ça a l’air. Par exemple, si on dit que V = 12, R = 3 et I = 4, on peut écrire:
\[\begin{align} 12 = 3 \times 4 \end{align}\]Ou encore :
\[\begin{align} 3 \times 4 = 12 \end{align}\]C’est bien la même chose.
Jouons avec l’égalité
On peut faire subir aux deux cotés de l’égalité la même opération sans que cela pose problème.
Par exemple on peut ajouter 1 de chaque coté:
\[\begin{align} V + 1 = RI + 1 \end{align}\]Essayons avec des nombres. Si V = 12, R = 3 et I = 4 :
\[\begin{align} 12 + 1 &= 3 \times 4 + 1 \\ 13 &= 12 + 1 \\ 13 &= 13 \end{align}\]Ça marcherait aussi avec une soustraction ou tiens, avec une multiplication:
\[\begin{align} V \times 2 &= R \times I \times 2 \\ 12 \times 2 &= 3 \times 4 \times 2 \\ 24 &= 12 \times 2 \\ 24 &= 24 \end{align}\]Et bien sûr, ça fonctionne aussi avec la division, tant qu’on divise par autre chose que zéro:
\[\begin{align} V / 2 &= R \times I / 2 \\ 12 / 2 &= 3 \times 4 / 2 \\ 6 &= 12 / 2 \\ 6 &= 6 \end{align}\]Un truc intéressant à propos de la division
Puisqu’on parle de division, voici un truc intéressant à propos de la division. Quand on divise un nombre (n’importe lequel à part zéro) par lui-même on obtient toujours 1. Toujours. Par exemple:
\[\begin{align} 12 / 12 = 1 \end{align}\]Si on généralise : \(A / A = 1\). Donc c’est pareil avec R ou I :
\[\begin{align} R / R &= 1 \\ I / I &= 1 \end{align}\]Division et fraction
Jusqu’ici j’ai utilisé le signe / pour la division, mais celui-ci n’est pas
toujours très pratique et on le remplace souvent par une fraction. Et oui:
division et fraction c’est la même chose.
Reprenons notre formule de base :
\[\begin{align} V = R \times I \end{align}\]Si on divise les deux cotés par R, ça donne :
\[\begin{align} \frac{V}{R}= \frac{R \times I}{R} \end{align}\]On y est presque, je vous assure ! Il faut encore comprendre une dernière chose :
\[\begin{align} \frac{R \times I}{R}=I \end{align}\]Wait
Rappelez vous qu’une fraction, c’est la même chose qu’une division. Si je généralise:
\[\begin{align} \frac{X \times Y}{Z}=X \times Y / Z \end{align}\]Il faut aussi savoir qu’il n’y a pas de priorité entre la multiplication et la division, ainsi \(10 \times 2 / 5 = 4\), tout aussi bien que \(10 / 5 \times 2 = 4\) ou que \(2 / 5 \times 10 = 4\).
Donc :
\[\begin{align} \frac{R \times I}{R} \end{align}\]Équivaut à :
\[\begin{align} R \times I / R \end{align}\]Ce qui est exactement pareil que :
\[\begin{align} R / R \times I \end{align}\]Et nous avons vu que R / R vaut 1, ce qui donne :
Ou plus simplement :
\[\begin{align} I \end{align}\]Conclusion
Notre formule de base nous permet de calculer V à partir de R et de I:
\[\begin{align} V = RI \end{align}\]On joue avec en divisant chaque coté par R:
\[\begin{align} \frac{V}{R} = \frac{RI}{R} \end{align}\]Ce qui donne:
\[\begin{align} \frac{V}{R} = I \end{align}\]Qu’on remet dans le bon sens si on préfère, on peut maintenant calculer I à partir de V et R:
\[\begin{align} I = \frac{V}{R} \end{align}\]Si nous avons un voltage de 5 Volts et une résistance de 1000 Ohms, combien aurons nous d’ampères:
\[\begin{align} I = \frac{5}{1000} = 0.005 \end{align}\]Vous venez de déduire une formule mathématique à partir d’une autre et de l’utiliser ! Et de rattraper plusieurs heures de sèche du collège en quelques minutes ;)
À plus tard.